2022湖南遴选考试行测备考之不定方程的四大解题秘籍

首先，各位考生需要了解什么是不定方程。在考试中我们会遇到类似3x+4y=21这样的方程，这种方程的特点在于：未知数的个数>方程的个数，这样的方程在未知数没有任何限制的条件下，解是不固定的，所以我们称之为不定方程。

不定方程属于方程的一种，但是在解题难度上会略高于普通方程，如何把这种略难的问题快速掌握和解决呢?其实各位考生只需要掌握以下四种方法即可。

一、代入排除法

【例】设 a、b 均为正整数，若 11a+7b=84，则 a 的值为:

A.4

B.5

C.7

D.8

【解析】

第一步，通过未知数个数>方程个数，可以判定本题属于不定方程问题。

第二步，通过代入排除，将选项中a的值代入等式11a+7b=84验证，解出b应为正整数即可。通过代入，四个选项中只有当a=7时，b的值为整数1满足条件。 因此，选择C选项。

【技巧总结】当不定方程问题中只是简单的求解某个量，而不是未知量的和差或乘积关系，可以考虑代入排除法求解。

二、整除法

【例】9x+4y=81，x和y为正整数，求y=( )?

A.3

B.6

C.18

D.45

【解析】

第一步，通过未知数个数>方程个数，可以判定本题属于不定方程问题。

第二步，通过对这个方程进行观察，不难发现9x的系数9和常数项81都能被9整除。根据乘法分配律，如果一个能被9整除的数加上另一个数的和能被9整除，那么另一个数也一定能被9整除，因此4y能被9整除，但4不能被9整除，所以只能是y被9整除，因此得出y是9的倍数，所以直接选择C，这种方法我们称之为“整除法”。

【技巧总结】不定方程中，未知数的系数和常数项有公约数时，考虑整除法求解。

三、奇偶性

【例2】2x+3y=25，x和y为正整数，求y=( )?

A.2

B.4

C.6

D.7

【解析】

第一步，通过未知数个数>方程个数，可以判定本题属于不定方程问题。

第二步，观察等式两边的每一项，2是偶数，偶数的正整数倍也一定是偶数，而25是一个奇数，一个偶数加上另一个数的和是奇数，说明另一个数一定是奇数，也就是说3y一定是奇数，而3是奇数，奇数只有乘以奇数才能得到奇数，所以y必须是奇数，选项中只有D满足条件，因此选择D选项。

【技巧总结】不定方程中，未知数的系数为一奇一偶时，考虑未知数的奇偶性。

四、尾数法

【例3】5x+6y=72，x和y为正整数，x与y的和不大于13，求xy=( )?

A.12

B.0

C.24

D.42

【解析】

第一步，通过未知数个数>方程个数，可以判定本题属于不定方程问题。

第二步，观察题干中的系数我们发现，5这个数比较特殊，因为正整数与5相乘的结果，尾数只有0或5两种情况，因此我们可以通过尾数来进行快速求解。当然，因为未知数的系数为一奇一偶，所以在这个过程中我们也可以结合奇偶性法来解题。利用奇偶性我们能判断6y是偶数，72是偶数，偶数+偶数=偶数，所以能够确定5x是偶数，再根据尾数法确定5x的尾数只能是0，72的尾数是2，那么6y的尾数只能是2，所以y可以取的值只有2或7。当y=2时，x=12;当y=7时，x=6.由于x与y的和不大于13,所以满足条件的只有y=7，x=6，6×7=42，因此选择D。

【技巧总结】不定方程中，未知数的系数为5的倍数时，考虑尾数法。

以上就是常用的不定方程的四大解题方法，各位考生如果能深入理解并灵活运用，那么不定方程问题便能被轻松攻破。

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